Antrian adalah suatu kejadian yang biasa dalam kehidupan sehari–hari. Menunggu di depan loket untuk mendapatkan tiket kereta api atau tiket bioskop, pada pintu jalan tol, pada bank, pada kasir supermarket, dan situasi–situasi yang lain merupakan kejadian yang sering ditemui. Studi tentang antrian bukan merupakan hal yang baru.
Antrian timbul disebabkan oleh kebutuhan akan layanan melebihi kemampuan (kapasitas) pelayanan atau fasilitas layanan, sehingga pengguna fasilitas yang tiba tidak bisa segera mendapat layanan disebabkan kesibukan layanan. Pada banyak hal, tambahan fasilitas pelayanan dapat diberikan untuk mengurangi antrian atau untuk mencegah timbulnya antrian. Akan tetapi biaya karena memberikan pelayanan tambahan, akan menimbulkan pengurangan keuntungan mungkin sampai di bawah tingkat yang dapat diterima. Sebaliknya, sering timbulnya antrian yang panjang akan mengakibatkan hilangnya pelanggan / nasabah.
Salah satu model yang sangat berkembang sekarang ini ialah model matematika. Umumnya, solusi untuk model matematika dapat dijabarkan berdasarkan dua macam prosedur, yaitu : analitis dan simulasi. Pada model simulasi, solusi tidak dijabarkan secara deduktif. Sebaliknya, model dicoba terhadap harga – harga khusus variabel jawab berdasarkan syarat - syarat tertentu (sudah diperhitungkan terlebih dahulu), kemudian diselidiki pengaruhnya terhadap variable kriteria. Karena itu, model simulasi pada hakikatnya mempunyai sifat induktif. Misalnya dalam persoalan antrian, dapat dicoba pengaruh bermacam - macam bentuk system pembayaran sehingga diperoleh solusi untuk situasi atau syarat pertibaan yang mana pun.
Teori antrian adalah cabang dari terapan teori probabilitas yang awalnya digunakan untuk mempelajari kemacetan lalu lintas telepon, Pertama kali diperkenalkan oleh seorang ahli matematika dari Denmark, Agner Kramp Erlang (1878-1929). Proses antrian adalah suatu proses yang berhubungan dengan kedatangan seorang pelangan pada suatu fasilitas pelayanan kemudian menunggu dalam suatu baris atau antrian karena pelayannya sedang sibuk dan akhirnya meninggalkan sistem setelah selesai dilayani. Sedangkan yang dimaksud dengan sistem antrian adalah himpunan pelanggan, pelayan dan suatu aturan yang mengatur kedatangan para pelanggan dan pemrosesan masalahnya.
Sejarah Teori Antrian
Antrian yang sangat panjang dan terlalu lama untuk memperoleh giliran pelayanan sangatlah menjengkelkan. Rata – rata lamanya waktu menunggu (waiting time) sangat tergantung kepada rata – rata tingkat kecepatan pelayanan (rate of services). Teori tentang antrian diketemukan dan dikembangkan oleh A.K.Erlang, seorang insinyur dari Denmark yang bekerja pada perusahaan telepon di Kopenhagen pada tahun 1910. Erlang melakukan eksperimen tentang fluktuasi permintaan fasilitas telepon yang berhubungan dengan automatic dialing equipment, yaitu peralatan penyambungan telepon secara otomatis. Dalam waktu – waktu yang sibuk operator sangat kewalahan untuk melayani para penelepon secepatnya, sehingga para penelepon harus antri menunggu giliran, mungkin cukup lama. Persoalan aslinya Erlang hanya memperlakukan perhitungan keterlambatan (delay) dari seorang operator, kemudian pada tahun 1917 penelitian dilanjutkan untuk menghitung kesibukan beberapa operator. Dalam periode ini Erlang menerbitkan bukunya yang terkenal berjudul Solution of some problems in the theory of probabilities of significance in Automatic Telephone Exhange. Baru setelah perang dunia kedua, hasil penelitian Erlang diperluas penggunaannya antara lain dalam teori antrian (Supranto, 1987).
Elemen Sistem Antrian
Elemen sistem antrian merupakan komponen yang merupakan bagian atau anggota dari sistem antrian, yaitu :
1. Pelanggan
Pelanggan adalah orang atau barang yang menunggu untuk dilayani. Arti dari pelanggan tidak harus berupa orang, misalnya saja antrian pada loket pembayaran di supermarket, orang yang menunggu giliran membayar termasuk pelanggan, begitu juga barang-barang yang menunggu untuk dihitung oleh kasir juga dapat dikatakan sebagai pelanggan.
2. Pelayan
Pelayan adalah orang atau sesuatu yang memberikan pelayanan. Seperti halnya pelanggan, pelayan juga tidak harus berupa orang. Misalnya pada pengambilan uang melalui ATM, mesin ATM dalam hal ini merupakan pelayan.
3. Antrian
Antrian merupakan kumpulan pelanggan yang menunggu untuk dilayani. Antrian tidak harus merupakan garis tunggu yang memanjang. Misalnya saja antrian pada panggilan telepon, tidak berupa garis tunggu seperti yang kita jumpai pada antrian di pembelian tiket bioskop.
Karakteristik Antrian
Karakteristik yang dapat dilihat dari suatu sistem antrian antara lain :
1. Distribusi kedatangan ( kedatangan tunggal atau kelompok) Distribusi kedatangan dari pelanggan dapat dilihat dari waktu antar kedatangan 2 pelanggan yang berurutan (interarrival time) . Pola kedatangan ini dapat bersifat deterministik ( pasti) maupun stokastik (acak). Jika distribusi kedatangan tidak bergantung pada waktu (time-independent) maka bersifat stasioner. Sebaliknya jika distribusi kedatangannya bergantung pada waktu, maka bersifat nonstasioner.
2. Distribusi waktu pelayanan (pelayanan tunggal atau kelompok)
Distribusi pelayanan dapat bersifat deterministik maupun stokastik. Waktu pelayanan yang sifatnya tetap disebut deterministik. Sedangkan yang tidak tetap atau acak disebut stokastik. Pelayanan yang tergantung pada jumlah pelanggan yang sedang menunggu disebut pelayanan state-dependet.
3. Rancangan sarana pelayanan (stasiun serial, paralel atau jaringan)
Pada rancangan sarana pelayanan ini, didalamnya termasuk juga jumlah server (pelanggan) yang dimiliki oleh sistem pelayanan.
4. Peraturan pelayanan (FCFS, LCFS, SIRO) dan prioritas pelayanan
Peraturan yang dimaksud adalah prosedur yang dapat digunakan oleh para pelayan untuk memutuskan urutan pelanggan yang dilayani dari antrian.
5. Ukuran antrian (terhingga atau tidak terhingga)
Ukuran antrian artinya jumlah maksimum pelanggan yang diijinkan berada dalam sistem pelayanan (dalam antrian dan dalam pelayanan).
6. Sumber pemanggilan (terhingga atau tidak terhingga)
Ukuran sumber pemanggilan merupaka ukuran populasi yang potensial untuk menjadi pelanggan (calling population).
7. Perilaku manusia (perpindahan, penolakan, atau pembatalan)
Dalam sistem antrian, terkadang terjadi perilaku pelanggan yang keluar dari prosedur. Reneging (pembatalan) yaitu meninggalkan antrian sebelum dilayani, balking (penolakan) yaitu menolak untuk memasuki antrian. Pada dasarnya keduanya sama, perbedaannya terletak pada waktu dimana pelanggan memutuskan untuk tidak memasuki atau untuk tidak meneruskan prosedur pada sistem pelayanan. Jockeying (perpindahan) adalah perpindahan dari satu baris antrian ke baris antrian yang lain. Reneging, balking, dan jockeying merupakan tiga aspek dalam sistem antrian yang sulit diukur karena pelanggan yang melakukannya sering tidak terdeteksi oleh sistem yang bekerja.
Ukuran Steady State Kinerja Antrian
Kondisi transient berlaku ketika perilaku sistem terus bergantung pada waktu, seperti halnya proses kelahiran murni dan kematian murni. Sedangkan antrian dengan gabungan kedatangan dan keberangkatan dimulai berdasarkan kondisi transient dan secara bertahap mencapai kondisi steady state setelah cukup banyak waktu berlalu, asalkan paremeter dari sistem tersebut memungkinkan dicapainya steady state (laju kedatangan λ > laju pelayanan μ tidak akan mencapai steady state tanpa bergantung pada waktu yang telah lalu, karena ukuran antrian akan meningkat dengan waktu)
Ukuran – ukuran steady state kinerja antrian yang terpenting dalam suatu system antrian adalah :
Ls : jumlah pelanggan yang diperkirakan dalam sistem atau rata-rata jumlah pelanggan yang berada dalam sistem.
Lq : jumlah pelanggan yang diperkirakan dalam antrian atau rata-rata jumlah pelanggan yang berada pada antrian.
Ws : waktu menunggu yang diperkirakan dalam sistem atau rata-rata waktu menunggu dalam sistem.
Wq : waktu menunggu yang diperkirakan dalam antrian atau rata-rata waktu menunggu dalam antrian.
Distribusi Poisson dan Distribusi Eksponensial Distribusi Poisson
Fungsi densitas distribusi Poisson (dengan mean .t) adalah :
Fungsi Kumulatif distribusi Poisson (dengan mean .t) adalah :
Karakteristik Distribusi Poisson
Distribusi Eksponensial
Fungsi densitas distribusi Eksponensial :
Fungsi Kumulatif distribusi Eksponensial :
Karakteristik Distribusi Eksponensial :
Peran Distribusi Poisson dan Eksponensial dalam Antrian
Hubungan antara distribusi Poisson dan distribusi Eksponensial dapat dilihat dari fungsi kumulatif distribusi eksponensial sebagai berikut :
Sistim antrian terdiri dari kedatangan dan keberangkatan (kejadian) yang timbul dalam satu interval waktu dengan kondisi sebagai berikut :
1. Probabilitas dari sebuah kejadian (kedatangan dan keberangkatan) yang timbul antara t dan t s bergantung hanya pada panjangnya s , yang berarti bahwa probabilitas tidak bergantung pada t atau jumlah kejadian yang timbul selama periode waktu (0,t). Secara matematis, berarti fungsi probabilitas memiliki penambahan independen stasioner.
2. Probabilitas kejadian yang timbul selama interval waktu yang sangat kecil h adalah positif tetapi kurang dari satu.
3. Paling banyak satu kejadian dapat timbul selama interval waktu yang sangat kecil h .
Ketiga kondisi tersebut menggambarkan dimana jumlah kejadian selama satu interval waktu adalah proses Poisson, dan karena itu interval waktu antara beberapa kejadian yang berturut-turut adalah eksponensial. Interarrival time berdistribusi eksponensial dengan parameter λ jika dan hanya jika banyaknya kedatangan yang terjadi pada interval waktu t mengikuti distribusi Poisson dengan parameter λt.
Distribusi Poisson merupakan proses yang sepenuhnya acak, karena memiliki sifat bahwa interval waktu yang tersisa sampai pemunculan kejadian berikutnya sepenuhnya tidak bergantung pada interval waktu sebelumnya. Sifat ini sesuai dengan sifat Lack of Memory yang dimiliki moleh distribusi Eksponensial :
Uji Distribusi Kolmogorov Smirnov
Tes Kolmogorov Smirnov didasarkan pada perbedaan maksimum pada sampel terurut dengan uji hipotesis:
Rumus pendugaan yang digunakan untuk statistik uji yaitu :
Ho : x ~ F(x) ( data berdistribusi tertentu )
Rumus pendugaan yang digunakan untuk statistik uji yaitu :
D = max(D+ ,D- )
dengan :
D+=max(i/n-F(xi:.n))
D-=max(F(xi:.n)-(i-1)/n)
Statistik uji tersebut dibandingkan dengan batas signifikansi berdasarkan nilai kritis Statistik Kolmogorov Smirnov.
Misalnya dimiliki data interarrival time dan service time sebagai berikut :
Dalam hal ini digunakan asumsi independensi interarrival time. Interarrival Xn-1, Xn-2, Xn-3,… adalah independent. Akan diuji pola atau distribusi dari interarrival time dan service time, apakah berdistribusi eksponensial atau tidak.
Pengujian dapat dilakukan dengan statistik D menggunakan nilai kritis Statistik Kolmogorov Smirnov. Namun karena di software-software statistik sudah banyak ditemui alat untuk uji ini,kita akan melakukan uji ini dengan SPSS.
Analyze > Nonparametric Test > 1 Sample K-S >…dipilih option uji Eksponensial
Hasil uji menggunakan software SPSS adalah sebagai berikut :
Interarrival time :
Uji Distribusi Eksponensial :
Ho : interarrival time berdistribusi eksponensial
Ha : interarrival time tidak berdistribusi eksponensial
Ho ditolak jika sig < = 0.05. Karena dari output, didapat sig = 0.865 > 0.05, maka kesimpulannya adalah interarrival time berdistribusi eksponensial
Asumsi bahwa interarrival time berdistribusi eksponensial dipenuhi, ini berarti bahwa arrival time ( waktu kedatangan ) berdistribusi Poisson..
Service time :
Uji Distribusi Eksponensial :
Ho : Service time berdistribusi eksponensial.
Ha : Service time tidak berdistribusi eksponensial.
Ho ditolak jika sig < = 0.05. Karena sig = 0.003 < 0.05, maka service time tidak berdistribusi eksponensial.
Model Antrian
Klasifikasi model-model antrian berdasarkan : arrival process (proses kedatangan), service prosses (proses pelayanan), jumlah pelayan (server), dan kapasitas sistem. Klasifikasi tersebut digambarkan dengan notasi :
(a/b/c/d/e)
•a : distribusi dari interarrival times.
•b : distribusi dari service time
•c : jumlah server
•d : kapasitas sistem
•e : ukuran populasi (sumber) dari pelanggan
Distribusi yang dapat digunakan :
•M : Distribusi Markovian (Eksponensial)
•D : Deterministic (service time yang konstan)
•G : Distribusi secara umum (General)
•En : Distribusi Erlang (Distribusi Gamma dengan shape parameter n)
Beberapa model antrian antara lain :
1. (M/M/1//)
2. (M/M/m//)
3. (M/M///) ~ Model Swalayan
4. (M/M/m/b/)
5. (M/M/R/K/K)
6. (M/G/1//) ~ Pollaczek-Khintchine (P-K)
7. (G/G/m//) ~ Pendekatan Allen-Cunneen
8. (M/G/m/0/) ~ Erlang Loss Formula
Kesimpulan :
1.Elemen dari sistem antrian adalah pelanggan, pelayan, dan antrian.
2.Model suatu sistem antrian ditentukan oleh distribusi waktu kedatangan, distribusi waktu pelayanan, jumlah server, kapasitas system, dan sumber pemanggilan.
3.Distribusi Poisson dan distribusi eksponensial merupakan distribusi penting dalam teori antrian, terutama hubungannya dalam penentuan model antrian.
Sumber :
Perkuliahan Matematika Optimasi II, TI UMM
- Dian Palupi, ST
0 komentar:
Posting Komentar